Производни
background image

Производни

Основни формули и правила за диференциране (намиране на производна)

)

1

 

0

)

(

=

C

       

C

- число

)

2

 

1

)

(

=

x

)

3

 

C

x

C

=

)

.

(

)

4

 

1

.

)

(

=

n

n

x

n

x

)

5

 

1

.

.

)

.

(

=

n

n

x

n

C

x

C

)

6

 

x

x

cos

)

(sin

=

)

7

 

x

x

sin

)

(cos

=

)

8

 

x

tgx

2

cos

1

)

(

=

)

9

 

x

gx

2

sin

1

)

(cot

=

)

10

 

a

x

x

a

ln

.

1

)

(log

=

)

0

,

1

,

0

(

>

>

x

a

a

)

11

 

x

x

1

)

(ln

=

)

0

(

>

x

)

12

 

a

a

a

x

x

ln

.

)

(

=

)

1

,

0

(

>

a

a

)

13

 

x

x

e

e

=

)

(

)

14

 

2

1

1

)

(arcsin

x

x

=

(

)

1

<

x

)

15

 

2

1

1

)

(arccos

x

x

=

(

)

1

<

x

)

16

 

2

1

1

)

(

x

arctgx

+

=

)

17

 

2

1

1

)

cot

(

x

gx

arc

+

=

1

background image

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

x

v

x

u

x

v

x

u

±

=

±

(

)

)

(

).

(

)

(

).

(

)

(

).

(

x

v

x

u

x

v

x

u

x

v

x

u

+

=

(

)

2

)

(

)

(

).

(

)

(

).

(

)

(

)

(

x

v

x

v

x

u

x

v

x

u

x

v

x

u

=





            

0

v

(

)

)

(

.

...

)

(

.

)

(

.

)

(

.

...

)

(

.

)

(

.

2

2

1

1

2

2

1

1

x

u

c

x

u

c

x

u

c

x

u

c

x

u

c

x

u

c

n

n

n

n

±

±

±

=

±

±

±

(

)

)

(

)...

(

).

(

...

)

(

)...

(

).

(

)

(

)...

(

).

(

)

(

)...

(

).

(

2

1

2

1

2

1

2

1

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

n

n

n

n

+

+

+

+

=

(

)

)

(

).

(

.

)

(

1

x

f

x

f

n

x

f

n

n

=

(

)

)

(

)).

(

(

))

(

(

x

g

x

g

f

x

g

f

=

[

]

(

)

[

]





+

=

)

(

)

(

).

(

)

(

ln

).

(

.

)

(

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

x

x

f

x

x

f

x

f

x

x

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

;   

0

)

(

>

x

f

намира се чрез логаритмична производна  

[

]

)

(

)

(

)

(

ln

x

f

x

f

x

f

=

Производни от по-висок ред

(

)

)

(

).

(

.

...

)

(

).

(

.

...

)

(

).

(

.

1

)

(

).

(

)

(

).

(

)

(

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

x

v

x

u

n

n

x

v

x

u

k

n

x

v

x

u

n

x

v

x

u

x

v

x

u

n

k

k

n

n

n

n





+

+





+

+

+





+

=

Формула на Лайбниц

k

k

n

n

n

n

k

n

k

n

k

n

...

3

.

2

.

1

)

1

)...(

2

).(

1

.(

)!

!.(

!

+

=

=





(

)

)

(

.

)

(

.

)

(

)

(

x

u

C

x

u

C

n

n

=

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

v

x

u

x

v

x

u

n

n

n

±

=

±

2

background image

Приложение на екстремумите. Намиране на най-голяма и най-

малка стойност на функция

Задача 1.  От картон с форма на квадрат със страна 

a

 трябва да се 

изработи отворена отгоре кутия чрез изрязване на четири еднакви 
квадратчета във всеки от ъглите на картона. Да се определи страната на 
изрязваните квадратчета така, че обемът на получената кутия да е най-
големия възможен.

Решение:

Означаваме с 

x

 дължината на страната на изрязаните квадратчета.

 Тъй като основата на получената кутия ще бъде квадрат със страна 

x

a

.

2

, а височината и ще бъде 

x

Тогава обемът (вместимостта) на кутията ще бъде 

(

)

x

x

a

h

S

V

осн

.

.

2

.

2

=

=

От реалния смисъл на задачата е ясно, че трябва да наложим 

ограничението   

2

0

a

x

<

<

С други думи, обемът  

V

 се разглежда като функция на променливата 

x

 с 

дефиниционна област  

2

;

0

a

.   Можем да дефинираме 

)

(

x

V

 и за 

краищата на този интервал така, че функцията 

)

(

x

V

 да бъде непрекъсната 

в затворения интервал  





2

;

0

a

, като положим   

0

)

0

(

=

V

 и  

0

2

=

a

V

.

3

background image

Ако проявим известно въображение можем да си представим как ще 
изглежда кутията в тези два случая – в първия случай това е самият 
квадратен картон, а във втория кутията ще се изроди до една точка. И в 
двата случая интуицията подсказва стойността 0 за обема.

Тъй като 

0

)

(

>

x

V

 в интервала 

2

;

0

a

, нейната най-голяма стойност в 





2

;

0

a

 ще бъде най-големият от локалните и максимуми.

Да намерим този максимум и стойността на 

x

, за която той се достига. 

За целта пресмятаме производната

(

)

)

.

6

).(

.

2

(

)

.

2

(

.

)

.

2

.(

.

2

.

2

)

(

2

x

a

x

a

x

a

x

x

a

x

a

x

V

=

+

=

и я приравняваме на нула (необходимото условие за съществуване на 
екстремум в случая е 

0

)

(

=

x

V

)

Получаваме уравнението  

(

) (

)

0

.

6

.

.

2

=

x

a

x

a

  решенията на което са 

числата 

6

1

a

x

=

  и  

2

2

a

x

=

.  От тях само  

6

1

a

x

=

 е вътрешна точка на 

разглеждания интервал и затова стойността  

=

6

)

(

1

a

V

x

V

 е 

единственият локален максимум на разглежданата функция.

Тъй като  

0

)

(

>

x

V

 за  

6

a

x

<

  и  

0

)

(

<

x

V

 за  

6

a

x

>

,  стойността 

=

6

)

(

1

a

V

x

V

 е наистина локален максимум (другия начин е да проверим 

дали  

0

)

(

1

<

′′

x

V

).

Следователно кутия с максимален обем ще се получи, когато от ъглите на 

картона се изрежат квадратчета със страна 

6

1

  от размера на картона с 

форма на квадрат, т.е  

6

a

x

=

.

4

background image

Задача 2.  От правоъгълен картон със страни 

a

 и  

b

, където  

b

a

>

изрежете еднакви квадратчета в ъглите му по такъв начин, че след 
пригъване да се получи отворена кутия с най-голям обем.

Решение:

Означаваме с 

x

 дължината на страната на изрязаните квадратчета.

 Тъй като основата на получената кутия ще бъде правоъгълник със страни 

x

a

.

2

 и  

x

b

.

2

, а височината и ще бъде 

x

Тогава обемът (вместимостта) на кутията ще бъде 

(

)

x

x

b

x

a

h

S

V

осн

).

.

2

.(

.

2

.

=

=

От реалния смисъл на задачата е ясно, че трябва да наложим 

ограниченията  

2

0

a

x

<

<

  и  

2

0

b

x

<

<

  

2

0

b

x

<

<

x

b

a

x

b

a

x

x

V

.

.

).

.(

2

.

4

)

(

2

3

+

+

=

0

.

).

.(

4

.

12

)

(

0

)

(

2

=

+

+

=

=

b

a

x

b

a

x

x

V

x

V

(

)

=

+

+

=

+

=

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

D

.

.

48

.

.

32

.

16

.

16

.

.

12

.

4

.

16

2

2

2

0

)

.(

16

2

2

>

+

=

b

ab

a

  тъй като  

b

a

a

.

2

>

.

(

)

6

.

24

.

.

4

.

4

2

2

2

2

2

,

1

b

b

a

a

b

a

b

b

a

a

b

a

x

+

±

+

=

+

±

+

=

Проверяваме дали  

0

)

(

1

<

′′

x

V

 и  

0

)

(

2

<

′′

x

V

.

)

.(

4

.

24

)

(

b

a

x

x

V

+

=

′′

(

)

=

+

+

+

+

=

′′

)

.(

4

.

.

4

)

(

2

2

1

b

a

b

b

a

a

b

a

x

V

min

0

.

.

4

)

.(

4

.

.

4

)

.(

4

2

2

2

2

>

+

=

+

+

+

+

=

b

b

a

a

b

a

b

b

a

a

b

a

=

+

+

+

=

′′

)

.(

4

)

.

.(

4

)

(

2

2

2

b

a

b

b

a

a

b

a

x

V

5

background image

max

0

.

.

4

)

.(

4

.

.

4

)

.(

4

2

2

2

2

<

+

=

+

+

+

=

b

b

a

a

b

a

b

b

a

a

b

a

Следователно кутията ще има максимален обем при страна на изрязваното 

квадратче  

6

.

2

2

b

b

a

a

b

a

x

+

+

=

.

Задача 3. Проектира се канал с правоъгълно сечение, чието лице ще 

бъде 

2

5

,

4

m

. Да се намерят дължините на страните на правоъгълника, така 

че за облицовката на стените и дъното на канала да се изразходва най-
малко количество материал.

Решение:

Нека страната  

x

a

=

, тъй като  

x

b

b

x

b

a

S

5

,

4

5

,

4

.

.

=

=

=

=

Най-малко количество материал ще се изразходва, ако периметърът 

 +

=

+

=

+

=

x

x

b

a

b

a

x

P

5

,

4

.

2

)

.(

2

.

2

.

2

)

(

  е най-малък.

Трябва да се намерят точките в които 

)

(

x

P

 има локален екстремум и 

да се провери в коя от тях има минимум.

Оказва се, че периметъра е минимален, когато сечението е квадрат със 

страна 

2

2

3

=

x

.

Задачи за упражнение

6

background image

Задача 1. (Стопанска академия – Свищов 2005 г., зад.3)
Даден е равнобедрен трапец 

ABCD

 с основи 

15

=

AB

,  

5

=

CD

 и 

бедра  

13

=

=

BC

AD

.

В трапеца е вписан правоъгълник 

MNPQ

 така, че 

M

 и 

N

 лежат на 

основата 

AB

, а  

P

 и 

Q

 лежат съответно на бедрата 

BC

 и 

AD

.

Нека 

x

MQ

=

.

)

а

 Намерете лицето на трапеца 

ABCD

 и изразете лицето на 

правоъгълника 

MNPQ

 като функция на 

x

.

)

б

 Намерете периметъра на правоъгълника, ако е известно, че той има 

максимално (най-голямо) лице.

Задача 2. (ХТМУ – София  2006 г., зад.3)
В правоъгълен триъгълник 

ABC

 с катети 

a

BC

=

 и 

b

AC

=

 (

b

a

>

е вписан равнобедрен трапец AMPQ с основи 

AM

 и 

PQ

 така, че точките 

Q

P

N

M

,

,

,

 лежат съответно на страните 

BC

AB

,

 и 

AC

.

Да се намери максималното лице на трапеца AMPQ.

Задача 3. 
В равнобедрен триъгълник 

ABC

 с дължина на основата 

a

AB

=

 и 

ъгъл при основата с големина 

α

 е вписан успоредник 

MNPQ

 така, че 

върховете му 

M

 и 

N

 лежат на основата 

AB

, върхът 

P

 лежи на 

BC

, а 

върхът 

Q

 лежи на 

AC

.

Да се намери максималното лице на успоредника 

MNPQ

.

Задача 4.
Даден е равнобедрен трапец 

ABCD

 с основи 

AB

 и 

CD

 (

CD

AB

>

).

Нека 

a

BC

AD

=

=

 и 

2

.

.

2

a

CD

=

Да се намери най-голямата стойност на лицето на трапеца 

ABCD

.

Задача 5.
Даден е правоъгълен  триъгълник 

ABC

 с хипотенуза 

AB

Допирателната в точка 

C

 към описаната около триъгълника 

ABC

окръжност пресича окръжността с диаметър 

AC

 в точка 

P

 и окръжността 

с диаметър 

BC

 в точка 

Q

.

)

а

 да се докаже, че  

CQ

CP

=

.

)

б

Ако 

a

BC

=

 и 

b

AC

=

, да се намери 

PQ

.

7

Това е само предварителен преглед!

Производни. Основни формули и правила за диференциране

Същност на производни. Основни формули и правила за диференциране (намиране на производна)...

Производни. Основни формули и правила за диференциране

Предмет: Математика
Тип: Доклади
Брой страници: 22
Брой думи: 1777
Брой символи: 10169
Изтегли
Този сайт използва бисквитки, за да функционира коректно
Ние и нашите доставчици на услуги използваме бисквитки (cookies)
Прочети още Съгласен съм